BILANGAN BINER

Sistem bilangan biner atau sistem bilangan basis dua adalah sebuah sistem penulisan angka dengan menggunakan dua simbol yaitu  0 dan 1. Sistem bilangan biner modern ditemukan oleh  pada abad ke-17. Sistem bilangan ini merupakan dasar dari semua sistem bilangan berbasis digital. Dari sistem biner, kita dapat mengkonversinya ke sistem bilangan oktal atau hexadesimal. Sistem ini juga dapat kita sebut dengan istilah bit, atau Binary Digit. Pengelompokan biner dalam komputer selalu berjumlah 8, dengan istilah 1 Byte. Dalam istilah komputer, 1 Byte = 8 bit. Kode-kode rancang bangun komputer , seperti ASCII, America Code for Information Interchange menggunakan sistem peng-kode-an 1 Byte. 

2⁰=1
2¹=2
2²=4
2³=8
2⁴=16
2⁵=32
2⁶=64
dst

Perhitungan

Desimal	Biner (8 bit)
0	0000 0000
1	0000 0001
2	0000 0010
3	0000 0011
4	0000 0100
5	0000 0101
6	0000 0110
7	0000 0111
8	0000 1000
9	0000 1001
10	0000 1010
11	0000 1011
12	0000 1100
13	0000 1101
14	0000 1110
15	0000 1111
16	0001 0000

        Perhitungan dalam biner mirip dengan menghitung dalam sistem bilangan lain. Dimulai dengan angka pertama, dan angka selanjutnya. Dalam sistem bilangan desimal, perhitungan mnggunakan angka 0 hingga 9, sedangkan dalam biner hanya menggunakan angka 0 dan 1.
contoh: mengubah bilangan desimal menjadi biner
desimal = 10.
berdasarkan referensi diatas yang mendekati bilangan 10 adalah 8 (2³), selanjutnya hasil pengurangan 10-8 = 2 (2¹). sehingga dapat dijabarkan seperti berikut
10 = (1 x 2³) + (0 x 2²) + (1 x 2¹) + (0 x 2⁰).
dari perhitungan di atas bilangan biner dari 10 adalah 1010
dapat juga dengan cara lain yaitu 10 : 2 = 5 sisa 0 (0 akan menjadi angka terakhir dalam bilangan biner), 5(hasil pembagian pertama) : 2 = 2 sisa 1 (1 akan menjadi angka kedua terakhir dalam bilangan biner), 2(hasil pembagian kedua): 2 = 1 sisa 0(0 akan menjadi angka ketiga terakhir dalam bilangan biner), 1 (hasil pembagian ketiga): 2 = 0 sisa 1(1 akan menjadi angka pertama dalam bilangan biner) karena hasil bagi sudah 0 atau habis, sehingga bilangan biner dari 10 = 1010
atau dengan cara yang singkat
10:2=5(0),
5:2=2(1),
2:2=1(0),
1:2=0(1) sisa hasil bagi dibaca dari belakang menjadi 1010

PENJUMLHAN,PENGURANGAN,PERKALIAN & PEMBAGIAN BILANGAN BINER

PENJUMLAHAN dalam BINER

Seperti bilangan desimal, bilangan biner juga dijumlahkan dengan cara yang sama. Pertama-tama yang harus dicermati adalah aturan pasangan digit biner berikut :

                        0 + 0 = 0

                        0 + 1 = 1

                        1 + 0 = 1

                        1 + 1 = 0 à menyimpan 1

sebagai catatan bahwa jumlah dua yang terakhir adalah :

                        1 + 1 + 1 = 1 à dengan menyimpan 1

Dengan hanya menggunakan penjumlahan-penjumlahan pada slide sebelumnya, kita dapat melakukan penjumlahan biner seperti ditunjukkan di bawah ini :

      1  1111      --> “simpanan 1” ingat kembali aturan di atas

      01011011  --> bilangan biner untuk 91

      01001110  --> bilangan biner untuk 78

      ------------+

       10101001  --> Jumlah dari 91 + 78 = 169

Kita akan menghitung penjumlahan biner yang terdiri dari 5 bilangan:

11101 bilangan ¹⁾

10110 bilangan ²⁾

  1100 bilangan ³⁾

11011 bilangan ⁴⁾

  1001 bilangan ⁵⁾

-------------------- +

Untuk menjumlahkannya, kita hitung berdasarkan aturan yang berlaku, dan untuk lebih mudahnya perhitungan dilakukan bertahap

                          11101            bilangan ¹⁾

                          10110            bilangan ²⁾

                          -------- +

                        110011

                            1100            bilangan ³⁾

                          -------- +

                        111111

                          11011            bilangan ⁴⁾

                          -------- +

                       1011010

                             1001           bilangan ⁵⁾

                          -------- +

                        1100011            Jumlah Akhir

Apakah benar  hasil penjumlahan tersebut?

    11101          bilangan ¹⁾

    10110          bilangan ²⁾

      1100          bilangan ³⁾

    11011          bilangan ⁴⁾

      1001          bilangan ⁵⁾

-----------+

1100011     Jumlah Akhir

Mari Buktikan dengan merubah biner ke desimal.

    11101 = 29

    10110 = 22

      1100 = 12

    11011 = 27

      1001 =   9

-------------------- +

1100011 = 99  Sesuai!

PENGURANGAN dalam BINER

Untuk memahami konsep pengurangan biner, kita harus mengingat kembali perhitungan desimal (angka biasa), kita mengurangkan digit desimal dengan digit desimal yang lebih kecil. Jika digit desimal yang dikurangkan lebih kecil daripada digit desimal yang akan dikurangi, maka terjadi “konsep peminjaman”. Digit tersebut akan meminjam 1 dari digit sebeleh kirinya.

Bentuk Umum pengurangan sebagai berikut :

            0 – 0 = 0

            1 – 0 = 1

            1 – 1 = 0

            0 – 1 = 1 à meminjam ‘1’ dari digit disebelah kirinya

Contoh :          

            1111011          desimal 123

              101001          desimal 41

            ---------- -

            1010010          desimal 82

Pada contoh di atas tidak terjadi “konsep peminjaman”.

Perhatikan contoh berikut!

                    0              kolom ke-3 menjadi ‘0’, sudah dipinjam

            111101            desimal 61

              10010            desimal 18

            -------- -

            101011            Hasil pengurangan akhir 43

Pada soal yang kedua ini kita pinjam ‘1’ dari kolom 3, karena ada selisih 0-1 pada kolom ke-2

Lalu bagaimana jika saya tidak dapat meminjam 1 dari kolom berikutnya karena kolom tersebut berupa bilangan ‘0’?

Untuk membahasa hal itu mari kita beri bandingkan jika hal ini terjadi pada bilangan desimal. Mari kita hitung desimal 800046 – 397261!

                            7999

                            8000¹46

                            3972 61

                            --------- -

                            4027 05

Perhatikan bahwa kita meminjam 1 dari kolom keenam untuk kolom kedua, karena kolom ketiga, keemat dan kolom kelima adalah nol. Setelah meminjam, kolom ketiga, keempat, dan kelima menjadi: 10 – 9 = 1

Hal ini juga berlaku dalam pengurangan biner, kecuali bahwa setelah meminjam kolom nol akan mengandung: 10 – 1 = 1

Sebagai contoh pengurangan bilangan biner 110001–1010 akan diperoleh hasil sebagai berikut:

                         1100¹01

                              10 10

                             ---------- -

                          1001 11

PERKALIAN dalam BINER

       Metode yang digunakan dalam perkalian biner juga pada dasarnya sama dengan perkalian desimal, akan terjadi pergeseran ke kiri setiap dikalikan 1 bit pengali. Setelah proses perkalian masing-masing bit pengali selesai, dilakukan penjumlahan masing-masing kolom bit hasil.

Contoh :

                                             1101

                                              1011 

                                               ---------x

                                                1101

                                              1101

                                            0000

                                          1101       

                                        --------------+

                                        10001111  

Perkalian bilangan biner dapat dilakukan seperti pada perkalian bilangan desimal. Sebagai contoh, untukmengalikan 11102 = 1410 dengan 11012 = 1310 langkah-langkah yang harus ditempuh adalah:

Perkalian juga bisa dilakukan dengan menambahkan bilangan yang dikalikan ke bilangan itu sendiri sebanyak bilangan pengali.

Contoh barusan, hasilnya akan sama dengan jika kita menambahkan 1112 ke bilangan itu sendiri sebanyak 1101 atau 13 kali.

PEMBAGIAN dalam BINER

Serupa dengan perkalian, pembagian pada bilangan biner juga menggunakan metode yang sama dengan pembagian desimal. Bit-bit yang dibagi diambil bit per bit dari sebelah kiri. Apabila nilainya lebih dari bit pembagi, maka bagilah bit-bit tersebut, tetapi jika setelah bergeser 1 bit nilainya masih dibawah nilai pembagi maka hasilnya adalah 0.
Contoh :

Pembagian pada sistem bilangan biner dapat dilakukan sama seperti contoh pembagian sistem bilangan desimal. Sebagai contoh, untuk membagi 110011 (disebut bilangan yang dibagi) dengan 1001 (disebut pembagi), langkah-langkah berikut yang perlu dilakukan.

       1 0 1  Hasil

               ----------------

1 0 0 1  / 1 1 0 0 1 1

                1 0 0 1

               --------------- -

                0 0 1 1 1 1

                      1 0 0 1

                    -----------  -

      sisa             1 1 0

Sehingga hasilnya adalah 101, dan sisa pembagian adalah 110.

Pembagian bisa juga dilakukan dengan cara menjumlahkan secara berulang kali dengan bilangan pembagi dengan bilangan itu sendiri sampai jumlahnya sama dengan bilangan yang dibagi atau setelah sisa pembagian yang diperoleh lebih kecil dari bilangan pembagi.